Analysis Beispiele

$y'''' = 2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ und $y (0) = 2$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $e^{- 6 y}$ aus $2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $e^{- 6 y}$ aus $2 t e^{- 6 y}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) - e^{- 6 y}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $e^{- 6 y}$ aus $- e^{- 6 y}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $e^{- 6 y}$ aus $e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t - 1)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- 6 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 6 y}$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = 2 t - 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} d y = (2 t - 1) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{- 6 y}} d y = \int 2 t - 1 d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- 6 y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{- 6 y})}^{- 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- 6 y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 6 y \cdot - 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\int 1 e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{6 y}$ mit $1$ .

$\int e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Schritt 2.2.2

Sei $u = 6 y$ . Dann ist $d u = 6 d y$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = 6 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $6 y$ .

$\frac{d}{d y} [6 y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6 y$ nach $y$ gleich $6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{e^{u}}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int e^{u} d u = \int 2 t - 1 d t$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 t - 1 d t$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$\frac{1}{6} e^{u} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $6 y$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t d t + \int - 1 d t$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 \int t d t + \int - 1 d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - 1 d t$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = t^{2} - t + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{6} e^{6 y} = t^{2} - t + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y}) = 6 (t^{2} - t + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $6 (\frac{1}{6} e^{6 y})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{6 y}$ .

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{6 y} = 6 (t^{2} - t + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $6 (t^{2} - t + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{6 y} = 6 t^{2} + 6 (- t) + 6 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$e^{6 y} = 6 t^{2} - 6 t + 6 K$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{6 y}) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{6 y})$ durch Herausziehen von $6 y$ aus dem Logarithmus.

$6 y \ln (e) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$6 y \cdot 1 = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $t$ und $2$ für $y$ in $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ ersetzt wird.

$2 = \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$ um.

$\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Schritt 6.3.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\ln (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\ln (0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$\ln (0 + 0 + K) = 6 \cdot 2$

Schritt 6.3.1.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + K$ .

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Schritt 6.3.1.1.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$\ln (0 + K) = 6 \cdot 2$

Schritt 6.3.1.1.3.2

Addiere $0$ und $K$ .

$\ln (K) = 6 \cdot 2$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\ln (K) = 12$

Schritt 6.4

Um nach $K$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (K)} = e^{12}$

Schritt 6.5

Schreibe $\ln (K) = 12$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{12} = K$

Schritt 6.6

Schreibe die Gleichung als $K = e^{12}$ um.

$K = e^{12}$

Schritt 7

Setze $e^{12}$ für $K$ in $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $e^{12}$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$

Schritt 7.2

Schreibe $\frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$ als $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ um.

$y = \frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ , indem du $\frac{1}{6}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \ln ({(6 t^{2} - 6 t + e^{12})}^{\frac{1}{6}})$