Analysis Beispiele

$\frac{d c}{d y} = \frac{1}{\sqrt{2 y + 16}} + 0.6$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d c = (\frac{1}{\sqrt{2 y + 16}} + 0.6) d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d c = \int \frac{1}{\sqrt{2 y + 16}} + 0.6 d y$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$c + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{2 y + 16}} + 0.6 d y$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$c + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{2 y + 16}} d y + \int 0.6 d y$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 2 y + 16$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 2 y + 16$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $2 y + 16$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 16]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + 16$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [16]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [16]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [16]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [16]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [16]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $16$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$c + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int 0.6 d y$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$c + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u + \int 0.6 d y$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$c + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u + \int 0.6 d y$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int 0.6 d y$

Schritt 2.3.5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int 0.6 d y$

Schritt 2.3.5.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int 0.6 d y$

Schritt 2.3.5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int 0.6 d y$

Schritt 2.3.5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int 0.6 d y$

Schritt 2.3.5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int 0.6 d y$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 0.6 d y$

Schritt 2.3.7

Wende die Konstantenregel an.

$c + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 0.6 y + C_{3}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$c + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + 0.6 y + C_{4}$

Schritt 2.3.9

Ersetze alle $u$ durch $2 y + 16$ .

$c + C_{1} = {(2 y + 16)}^{\frac{1}{2}} + 0.6 y + C_{4}$

Schritt 2.3.10

Stelle die Terme um.

$c + C_{1} = 0.6 y + {(2 y + 16)}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$c = 0.6 y + {(2 y + 16)}^{\frac{1}{2}} + K$