Analysis Beispiele

$x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$ durch $x (y - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$ durch $x (y - 3)$ .

$\frac{x (y - 3) \frac{d y}{d x}}{x (y - 3)} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (y - 3) \frac{d y}{d x}}{x (y - 3)} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y - 3) \frac{d y}{d x}}{y - 3} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y - 3) \frac{d y}{d x}}{y - 3} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y - 3}{4 y}$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} (\frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 y}{y - 3}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $y - 3$ aus $(y - 3) x$ heraus.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) (x)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 y$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y - 3}{4 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y - 3}{4 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Dividiere $y - 3$ durch $y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$0$

$y$

$3$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

Schritt 2.2.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

Schritt 2.2.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + 0$

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

Schritt 2.2.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

Schritt 2.2.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{4} \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.9

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) = \ln (| x |) + C$