Analysis Beispiele

$\frac{d u}{d v} = \frac{3 v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d u}{d v} = 3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 (\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}) (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $\sqrt{1 + u^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.3.3

Potenziere $\sqrt{1 + u^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ als $1 + u^{2}$ um.

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Schritt 1.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + u^{2}}$ als ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 (u \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $v$ und $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 1.3.6.1

Faktorisiere $u$ aus $3 u \sqrt{1 + u^{2}}$ heraus.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Schritt 1.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Schritt 1.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \sqrt{1 + u^{2}})$

Schritt 1.3.7

Kombiniere $v$ und $\frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $\frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}}$ und $\sqrt{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}}) \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.9

Potenziere $\sqrt{1 + u^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}))}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.10

Potenziere $\sqrt{1 + u^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}))}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1})}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{2})}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.13

Schreibe ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ als $1 + u^{2}$ um.

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Schritt 1.3.13.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + u^{2}}$ als ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.13.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{1}}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.13.5

Vereinfache.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + u^{2}$ .

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Schritt 1.3.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

Schritt 1.3.14.2

Dividiere $v \cdot 3$ durch $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = v \cdot 3$

Schritt 1.3.15

Bringe $3$ auf die linke Seite von $v$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 v$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = 3 v d v$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = \int 3 v d v$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 1 + u^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 u d u$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 + u^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 + u^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [1 + u^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + u^{2}$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 u$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 u$ .

$2 u$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 2} d u_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.4.2

Bringe ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{1}$ gleich $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.6.2.3

Mutltipliziere ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + u^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int v d v$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $v$ nach $v$ gleich $\frac{1}{2} v^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$ als $3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$ um.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} v^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} v^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + u^{2})}^{1} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Vereinfache.

$1 + u^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache ${(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = {(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Schreibe ${(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$ als $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ um.

$1 + u^{2} = (\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} (\frac{3 v^{2}}{2} + K) + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Kombinieren.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2} (3 v^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Multipliziere $v^{2}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.3.1.2.1

Bewege $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{3 (v^{2} v^{2}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2 + 2} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{4} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.5

Kombiniere $\frac{3 v^{2}}{2}$ und $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.6

Kombiniere $K$ und $\frac{3 v^{2}}{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{K (3 v^{2})}{2} + K (K)$

Schritt 3.2.2.1.3.1.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 \cdot K v^{2}}{2} + K \cdot K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.8

Mutltipliziere $K$ mit $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Addiere $\frac{3 v^{2} K}{2}$ und $\frac{3 K v^{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Bewege $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 K v^{2}}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Addiere $\frac{3 K v^{2}}{2}$ und $\frac{3 K v^{2}}{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Schritt 3.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2}$

Schritt 3.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1$

Schritt 3.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$u = \pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.3.1.1

Schreibe $9 v^{4}$ als ${(3 v^{2})}^{2}$ um.

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Schritt 3.3.3.1.3

Schreibe $\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2}$ um.

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Schritt 3.3.3.1.4

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$3 K v^{2} = 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K$

Schritt 3.3.3.1.5

Schreibe das Polynom neu.

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K + K^{2} - 1}$

Schritt 3.3.3.1.6

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = \frac{3 v^{2}}{2}$ und $b = K$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1}$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 3.3.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{3 v^{2}}{2} + K$ und $b = 1$ .

$u = \pm \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Schritt 3.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Schritt 3.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Schritt 3.3.4.3