Analysis Beispiele

$(y \ln (x) + y) d x + (x \ln (x) - e^{y}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y \ln (x) + y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x) + y]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y \ln (x) + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y \ln (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\ln (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y \ln (x)$ nach $y$ gleich $\ln (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x) - e^{y}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \ln (x) - e^{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Schritt 2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Schritt 2.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1 + \ln (x)$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x)$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $\ln (x) + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1 + \ln (x)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \ln (x) - e^{y} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x \ln (x) d y + \int - e^{y} d y$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C + \int - e^{y} d y$

Schritt 5.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - \int e^{y} d y$

Schritt 5.4

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - (e^{y} + C)$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \ln (x) + y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y - e^{y} + g (x)] = y \ln (x) + y$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x \ln (x) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Schritt 8.3.2

$y (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Schritt 8.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Schritt 8.3.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Schritt 8.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Schritt 8.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$y (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$y (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Schritt 8.4

Da $- e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y \cdot 1 + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Schritt 8.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.6.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Schritt 8.6.2.2

Addiere $y + y \ln (x)$ und $0$ .

$y + y \ln (x) + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Schritt 8.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y \ln (x) + y = y \ln (x) + y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$y \ln (x) - y \ln (x) = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $y \ln (x)$ von $y \ln (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \frac{d g}{d x} - y + y$ .

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Schritt 9.1.3.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} + 0$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $- \frac{d g}{d x}$ und $0$ .

$0 = - \frac{d g}{d x}$

Schritt 9.1.4

Da $\frac{d g}{d x}$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- \frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 9.1.5

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{d g}{d x} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.1.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{d g}{d x} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 9.1.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.1.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{d g}{d x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 9.1.5.2.2

Dividiere $\frac{d g}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 9.1.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1.5.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Schritt 10.3

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Schritt 10.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (x) = C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$ um.

$f (x, y) = x y \ln (x) - e^{y} + C$