Analysis Beispiele

$y \sin^{2} (x) d y - (y d) x = 0$

Schritt 1

Addiere $y d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \sin^{2} (x) d y = y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sin^{2} (x) y}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x) y} (y \sin^{2} (x)) d y = \frac{1}{\sin^{2} (x) y} y d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $y \sin^{2} (x)$ aus $\sin^{2} (x) y$ heraus.

$\frac{1}{y \sin^{2} (x) (1)} (y \sin^{2} (x)) d y = \frac{1}{\sin^{2} (x) y} y d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y \sin^{2} (x) \cdot 1} (y \sin^{2} (x)) d y = \frac{1}{\sin^{2} (x) y} y d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = \frac{1}{\sin^{2} (x) y} y d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $\sin^{2} (x) y$ heraus.

$1 d y = \frac{1}{y \sin^{2} (x)} y d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 d y = \frac{1}{y \sin^{2} (x)} y d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 d y = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ um.

$1 d y = {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} d x$

Schritt 3.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$1 d y = \csc^{2} (x) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 4.3

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \cot (x) + K$