Analysis Beispiele

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + x y = x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x} + x y = x$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $- 1 \frac{d y}{d x}$ als $- \frac{d y}{d x}$ um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + x y = x$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} = x - x y$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} - \frac{d y}{d x} = x - x y$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $- \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 1 = x - x y$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 1) = x - x y$

Schritt 1.1.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 1^{2}) = x - x y$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 1) (x - 1)) = x - x y$

Schritt 1.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$

Schritt 1.1.6

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$ durch $(x + 1) (x - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.1.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.1.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.1.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 1.1.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.1.6.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.1.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x - x y$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (- 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (1 - 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.2.2.1.5

Mutltipliziere $x$ mit $1 - 1 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y)$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y))$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $1 - y$ aus $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y)$ heraus.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} ((1 - y) \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} ((1 - y) \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 1 - y$ . Dann ist $d u_{1} = - d y$ , folglich $- d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 - y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.1.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.1.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Schritt 2.3.1.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.1.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.8.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Schritt 2.3.1.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Schritt 2.3.1.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.3.1.1.3.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.1.1.3.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| 1 - y |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| (x + 1) (x - 1) |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) = \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} = C$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 0 - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.4

Um $- \ln (| 1 - y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.5

Kombiniere $- \ln (| 1 - y |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln (| 1 - y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (| 1 - y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)$ heraus.

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Schritt 3.7.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.7.1.1

Stelle $1$ und $- y$ um.

$\frac{- \ln (| - y + 1 |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.7.1.2

Bewege $\ln (| - y + 1 |)$ .

$\frac{- 1 \cdot (2 \ln (| - y + 1 |)) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 2 \ln (| - y + 1 |)$ heraus.

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |)) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (| x^{2} - 1 |)$ heraus.

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |)) - (\ln (| x^{2} - 1 |))}{2} = C$

Schritt 3.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \ln (| - y + 1 |)) - (\ln (| x^{2} - 1 |))$ heraus.

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |))}{2} = C$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.9

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.1

Vereinfache $- \frac{2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2}$ .

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Schritt 3.9.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| - y + 1 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{\ln ({| - y + 1 |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.9.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| - y + 1 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- \frac{\ln ({(- y + 1)}^{2}) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.9.1.1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \frac{\ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.9.1.2

Schreibe $\frac{\ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)$ um.

$- (\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)) = C$

Schritt 3.9.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln ({({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.9.1.4

Wende die Produktregel auf ${(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |$ an.

$- \ln ({({(- y + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.9.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(- y + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.9.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln ({(- y + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.9.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.9.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \ln ({(- y + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.9.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \ln ({(- y + 1)}^{1} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.9.1.6

Vereinfache.

$- \ln ((- y + 1) {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.9.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + 1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.9.1.8

Mutltipliziere ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.10

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.10.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.10.2.2

Dividiere $\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ durch $1$ .

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.10.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - 1 \cdot C$

Schritt 3.10.3.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - C$

Schritt 3.11

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{- C}$

Schritt 3.12

Schreibe $\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = - y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.13

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.13.1

Schreibe die Gleichung als $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C}$ um.

$- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C}$

Schritt 3.13.2

Subtrahiere ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.13.3

Teile jeden Ausdruck in $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ durch $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 3.13.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ durch $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.13.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.2.3

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.13.3.3.1

Um $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3.2

Um $\frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.13.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.13.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.13.3.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.13.3.3.3.3

Mutltipliziere ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.13.3.3.3.4

Mutltipliziere $\frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}$

Schritt 3.13.3.3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3.3.6

Mutltipliziere ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1 - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.3.3.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3.5.2

Schreibe $- 1 e^{- C}$ als $- e^{- C}$ um.

$y = \frac{- e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3.5.3

Multipliziere $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.13.3.3.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- e^{- C} + 1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3.5.3.2

Mutltipliziere ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$y = \frac{- e^{- C} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.13.3.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y = \frac{- e^{- C} - 1 (- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{- C} - 1 (- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$y = \frac{- (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3.6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.13.3.3.6.3.1

Schreibe $- (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ als $- 1 (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ um.

$y = \frac{- 1 (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3.3.6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{C - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$