Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe das Problem als einen mathematischen Ausdruck.

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Schritt 2

Schreibe die Differentialgleichung um.

$x y' - y = 2 x^{2} y$

Schritt 3

Ermittle $y'$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A x e^{x^{2}})$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Da $A$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $A x e^{x^{2}}$ nach $x$ gleich $A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$A (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$A (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$A (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$A (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$A (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$A (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$A (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$A (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$A (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x^{2}}$ .

$A (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $e^{x^{2}}$ mit $1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

Schritt 3.3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + A e^{x^{2}}$

Schritt 3.3.11.2

Stelle die Terme um.

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$

Schritt 3.3.11.3

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$ um.

$2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Schritt 4

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Schritt 5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x (x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Schritt 5.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2 + 1} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Schritt 5.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}} = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}}$ .

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Schritt 5.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x (A e^{x^{2}})$ und $- A x e^{x^{2}}$ neu an.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} A x - e^{x^{2}} A x = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $e^{x^{2}} A x$ von $e^{x^{2}} A x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + 0 = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Schritt 5.2.3

Addiere $2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ und $0$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Schritt 5.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1

Bewege $x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x \cdot x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x^{1} x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{1 + 2} (A e^{x^{2}})$

Schritt 5.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ um.

$2 x^{3} A e^{x^{2}} = 2 x^{3} A e^{x^{2}}$

Schritt 6

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

$y = A x e^{x^{2}}$ ist ein Lösung von $x y' - y = 2 x^{2} y$