Analysis Beispiele

$x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Schritt 1.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

Schritt 1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x^{2} y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{2} + x^{2} y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + y (2 x)$

Schritt 2.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + 2 y x$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + 2 x y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y^{2} x + 2 x y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x y = 2 y^{2} x + 2 x y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x y = 2 y^{2} x + 2 x y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 y^{2} x + 2 x y$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x y$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 x y - (2 x y)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $x y^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $x y^{2}$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 x y - (2 x y)}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $y x$ aus $2 y^{2} x + 2 x y - 1 \cdot 2 x y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $y x$ aus $2 y^{2} x$ heraus.

$\frac{y x (2 y) + 2 x y - 1 \cdot 2 x y}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $y x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{y x (2 y) + y x (2) - 1 \cdot 2 x y}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $y x$ aus $- 1 \cdot 2 x y$ heraus.

$\frac{y x (2 y) + y x (2) + y x (- 1 \cdot 2)}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.4

Faktorisiere $y x$ aus $y x (2 y) + y x (2)$ heraus.

$\frac{y x (2 y + 2) + y x (- 1 \cdot 2)}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.5

Faktorisiere $y x$ aus $y x (2 y + 2) + y x (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{y x (2 y + 2 - 1 \cdot 2)}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y x (2 y + 2 - 2)}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y + 2 - 2$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{y x (2 y + 0)}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.3.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{y x (2 y)}{x y^{2}}$

$\frac{y x \cdot 2 y}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.2.4.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot 2 (y^{1} y)}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot 2 (y^{1} y^{1})}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \cdot 2 y^{1 + 1}}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x \cdot 2 y^{2}}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2 y^{2}}{x y^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 4.3.4

Ersetze $M$ durch $x y^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int 2 d y}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{2 y}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x y^{2}$ mit $e^{2 y}$ .

$x y^{2} e^{2 y} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x^{2} y^{2} + x^{2} y$ mit $e^{2 y}$ .

$x y^{2} e^{2 y} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) e^{2 y} d y = 0$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x y^{2} e^{2 y} d x + (x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} e^{2 y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = x y^{2} e^{2 y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $y^{2} e^{2 y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{2} e^{2 y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y^{2} e^{2 y} \int x d x$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{2 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $y^{2} e^{2 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $y^{2} e^{2 y} \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = y^{2} e^{2 y} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y}}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $\frac{y^{2} e^{2 y}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2} + C$

Schritt 8.3.3

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2}]$ .

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} e^{2 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} e^{2 y}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.3

Kombiniere $\frac{y^{2} e^{2 y}}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.4

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} e^{2 y}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = e^{2 y}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 2 y$ .

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Schritt 11.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 y$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.7

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} \cdot 2) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.3.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 y}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (2 e^{2 y}) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (2 e^{2 y}) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (2 e^{2 y})) + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.2.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{y^{2} x^{2}}{2} (2 e^{2 y}) + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (y^{2} x^{2})}{2} e^{2 y} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.2.3

Kombiniere $\frac{2 (y^{2} x^{2})}{2}$ und $e^{2 y}$ .

$\frac{2 (y^{2} x^{2}) e^{2 y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2} x^{2} e^{2 y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.2.4.2

Dividiere $y^{2} x^{2} e^{2 y}$ durch $1$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.2.5

Kombiniere $e^{2 y}$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{e^{2 y} x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{2 y} x^{2}}{2}$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{2 (e^{2 y} x^{2})}{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.2.7

Kombiniere $\frac{2 (e^{2 y} x^{2})}{2}$ und $y$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{2 (e^{2 y} x^{2}) y}{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{2 e^{2 y} x^{2} y}{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.2.8.2

Dividiere $e^{2 y} x^{2} y$ durch $1$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + e^{2 y} x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + e^{2 y} x^{2} y^{2} + e^{2 y} x^{2} y = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 11.5.4

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + e^{2 y} x^{2} y^{2} + e^{2 y} x^{2} y$ um.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x^{2} y^{2} e^{2 y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y e^{2 y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y^{2} e^{2 y}$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $x^{2} y e^{2 y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y^{2} e^{2 y} - x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y^{2} e^{2 y} - x^{2} y e^{2 y}$ .

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Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $x^{2} y^{2} e^{2 y}$ von $x^{2} y^{2} e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y e^{2 y} + 0 - x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $x^{2} y e^{2 y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y e^{2 y}$

Schritt 12.1.3.3

Subtrahiere $x^{2} y e^{2 y}$ von $x^{2} y e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y}}{2} x^{2} + C$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $\frac{y^{2} e^{2 y}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2} + C$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2} e^{2 y}}{2} + C$