Analysis Beispiele

$x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$ durch $x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{y x^{3}}$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y x^{3}}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{6}$ .

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{6} (\frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombinieren.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{6} \cdot \frac{6 \cdot 1}{y x^{3}}$

Schritt 1.4.2

Kombinieren.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y (6 \cdot 1)}{6 (y x^{3})}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y (6 \cdot 1)}{6 (y x^{3})}$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{6 (x^{3})}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{6 x^{3}}$

Schritt 1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{6} d y = \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{6} d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int y d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ um.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int x^{- 3} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{12} y^{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $12$ .

$12 (\frac{1}{12} y^{2}) = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $12 (\frac{1}{12} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $y^{2}$ .

$12 \frac{y^{2}}{12} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \frac{y^{2}}{12} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 12 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 x^{2}}$ in den Zähler.

$y^{2} = 12 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$y^{2} = 2 (6) \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$y^{2} = 2 (6) \frac{- 1}{2 (x^{2})} + 12 K$

Schritt 3.2.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \cdot 6 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Schritt 3.2.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 6 \frac{- 1}{x^{2}} + 12 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombiniere $6$ und $\frac{- 1}{x^{2}}$ .

$y^{2} = \frac{6 \cdot - 1}{x^{2}} + 12 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$y^{2} = \frac{- 6}{x^{2}} + 12 K$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{6}{x^{2}} + 12 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6}{x^{2}} + 12 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{6}{x^{2}} + 12 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $6$ aus $- \frac{6}{x^{2}} + 12 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- \frac{6}{x^{2}}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 12 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $6$ aus $12 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 (2 K)}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 (2 K)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}} + 2 K)}$

Schritt 3.4.2

Um $2 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 K x^{2}}{x^{2}})}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{6 \frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.4.4

Kombiniere $6$ und $\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $\frac{6 (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))$ um.

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Schritt 3.4.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $6 (- 1 + 2 K x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2}}}$

Schritt 3.4.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $x^{2}$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.4.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}$

Schritt 3.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{x} \sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}$

Schritt 3.4.7

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + K x^{2})}}{x}$