Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x^{2} + 2 x$ , $y (2) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x^{3} - x^{2} + 2 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 2 x d x$

Schritt 2.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 \int x d x$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.7.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $2$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ ersetzt wird.

$0 = 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$ um.

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Schritt 4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Schritt 4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Schritt 4.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Schritt 4.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 8 + K = 0$

Schritt 4.2.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$4 + 4 - 8 (\frac{1}{3}) + K = 0$

Schritt 4.2.1.5.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{3}$ .

$4 + 4 + \frac{- 8}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 + 4 - \frac{8}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $4$ und $4$ .

$8 - \frac{8}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.3

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $8$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot 3 - 8}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{24 - 8}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.6.2

Subtrahiere $8$ von $24$ .

$\frac{16}{3} + K = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\frac{16}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - \frac{16}{3}$

Schritt 5

Setze $- \frac{16}{3}$ für $K$ in $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{16}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{16}{3}$