Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x + y - 1$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{2} x - 1$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (\frac{1}{2} x) + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (\frac{1}{2} x) + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{1}{2} e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x}}{2} x + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $\frac{e^{- x}}{2}$ und $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.3.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 3.3.5

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - e^{- x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - e^{- x}$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} y = \int \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{- x} y = \int \frac{x e^{- x}}{2} d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.6

Sei $u_{1} = - x$ . Dann ist $d u_{1} = - d x$ , folglich $- d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.6.1

Es sei $u_{1} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.6.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.6.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.8

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Schritt 7.10

Sei $u_{2} = - x$ . Dann ist $d u_{2} = - d x$ , folglich $- d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.10.1

Es sei $u_{2} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 7.10.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.10.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.10.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.12

Vereinfache.

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Schritt 7.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.12.2

Mutltipliziere $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.13

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.14

Vereinfache.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 7.15.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.15.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

Schritt 7.16

Vereinfache.

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Schritt 7.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x}) + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Schritt 7.16.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (- x e^{- x})$ .

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Schritt 7.16.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$e^{- x} y = - \frac{x}{2} e^{- x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Schritt 7.16.2.2

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Schritt 7.16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Schritt 7.16.4

Stelle die Faktoren in $- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2}$ um.

$e^{- x} y = - \frac{x e^{- x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Schritt 7.17

Stelle die Terme um.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} x e^{- x} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{x}{2} e^{- x} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.2

Um $e^{- x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.3.3.1

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + \frac{e^{- x} \cdot 2}{2} + C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} + \frac{- e^{- x} + e^{- x} \cdot 2}{2} + C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x - e^{- x} + e^{- x} \cdot 2}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x - e^{- x} + 2 e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.3.5.1

Addiere $- e^{- x}$ und $2 e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.5.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x + e^{- x}$ um.

$y = \frac{C + \frac{- x e^{- x} + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.5.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x} + e^{- x}$ heraus.

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Schritt 8.2.3.5.3.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x e^{- x}$ heraus.

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.5.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.5.3.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ heraus.

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.6

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.3.7.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{C \cdot 2}{2} + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{C \cdot 2 + e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot C + e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{2 C + e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.8.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.8.4

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$y = \frac{\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.9

Stelle die Faktoren in $\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x}}{2}$ um.

$y = \frac{\frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.11

Mutltipliziere $\frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2}$ mit $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$y = \frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2 e^{- x}}$