Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x$ , $y (1) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int x d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int x d x$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ ersetzt wird.

$0 = 1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$ um.

$1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Schritt 4.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Schritt 4.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 + K = 0$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} + K = 0$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + \frac{1}{2} + K = 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + K = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze $- \frac{1}{2}$ für $K$ in $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}$