Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.5

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.7

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.8

Wende die Quotientenregel an $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 - V^{2}}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 - V^{2}}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{2} - V^{2}}$

Schritt 6.1.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.1

Faktorisiere $V$ aus $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ heraus.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.1.1

Faktorisiere $V$ aus $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.1.2

Faktorisiere $V$ aus $- V$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.1.3

Faktorisiere $V$ aus $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1)}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + \frac{- ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.3

Multipliziere $(- 1 - V) (1 - V)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 (1 - V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2

Multipliziere $- 1 (- V)$ .

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.2

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.1

Bewege $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.1.7

Mutltipliziere $V^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.2

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.4.3

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2.5.6

Addiere $0$ und $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Kombiniere $V$ und $\frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4

Multipliziere $V$ mit $V^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.1

Mutltipliziere $V$ mit $V^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.3.3.4.1.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1 + 2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.6

Kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

Schritt 6.1.1.3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1.3.3.7.1

Mutltipliziere $V^{3}$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$

Schritt 6.1.1.3.3.7.2

Stelle die Faktoren in $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{x (1 + V) (1 - V)}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}}$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Kombinieren.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

Schritt 6.1.4.2

Kombinieren.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + V$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

Schritt 6.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

Schritt 6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - V$ .

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Schritt 6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

Schritt 6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} (x)}$

Schritt 6.1.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{3}$ .

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Schritt 6.1.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} x}$

Schritt 6.1.4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Bringe $V^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) (1 - V) V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Multipliziere $(1 + V) (1 - V) V^{- 3}$ aus.

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Schritt 6.2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 (1 - V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + V \cdot 1 V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.7

Stelle $V$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.8

Stelle $V$ und $- 1$ um.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.9

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.10

Mutltipliziere $V^{- 3}$ mit $1$ .

$\int V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int V^{- 3} - V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.12

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int V^{- 3} - (V \cdot V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.13

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 3} - (V^{1} V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 3} - V^{1 - 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.15

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.16

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.17

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 - 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.19

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.20

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V \cdot V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.21

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.22

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V^{1}) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.23

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{1 + 1} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.24

Addiere $1$ und $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.25

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{2} V^{- 3}) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2 - 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.27

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.28

Addiere $- V^{- 2}$ und $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 3} + 0 - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.29

Subtrahiere $V^{- 1}$ von $0$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.30

Stelle $V^{- 3}$ und $- V^{- 1}$ um.

$\int - V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Das Integral von $V^{- 1}$ nach $V$ ist $\ln (| V |)$ .

$- (\ln (| V |) + C_{1}) + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V^{- 3}$ nach $V$ gleich $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- (\ln (| V |) + C_{1}) - \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.8.1

Vereinfache.

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{V^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| V |) - \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $V^{2}$ .

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2 V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{x}$ an.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

Schritt 8.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ mit $1$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Schritt 8.3

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| \frac{y}{x} |)}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| \frac{y}{x} |)}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2

Dividiere $\ln (| \frac{y}{x} |)$ durch $1$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ als $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ um.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.5

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Schritt 8.3.3.1.6

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ als $- \ln (| x |)$ um.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - \ln (| x |)$

Schritt 8.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Schritt 8.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Schritt 8.6

Multipliziere $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Schritt 8.6.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Schritt 8.6.2

Kombiniere $\frac{y}{x}$ und $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Schritt 8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Schritt 8.7.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$