Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} - 2 x^{2} y = e^{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - 2 x^{2} y = e^{x^{2}}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 x^{2} y}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 x^{2} y}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x^{2} y}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x^{1}} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x \cdot 1} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x \cdot 1} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{1} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $- 2 x y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 2 x$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 x d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- 2 x$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 3.3

Multipliziere $e^{- x^{2}} \frac{e^{x^{2}}}{x}$ .

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $e^{- x^{2}}$ und $\frac{e^{x^{2}}}{x}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{e^{- x^{2}} e^{x^{2}}}{x}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $e^{- x^{2}}$ mit $e^{x^{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{e^{- x^{2} + x^{2}}}{x}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{e^{0}}{x}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache $e^{0}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{1}{x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{1}{x}$ um.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = \frac{1}{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = \frac{1}{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x^{2}} y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- x^{2}} y = \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} y = \ln (| x |) + C$ durch $e^{- x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} y = \ln (| x |) + C$ durch $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{\ln (| x |)}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{\ln (| x |)}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |)}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$