Analysis Beispiele

$x^{2} d y + (2 x y - x + 1) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$(2 x y - x + 1) d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y - x + 1$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x + 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y - x + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0 + 0$

Schritt 2.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $2 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x = 2 x$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 x = 2 x$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Schritt 6

Integriere $N (x, y) = x^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y - x + 1$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 x y - x + 1$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 9.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Schritt 9.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Schritt 9.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 x y - x + 1$

Schritt 9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 x y - x + 1$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 10.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - x + 1 - 2 x y$

Schritt 10.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x y - x + 1 - 2 x y$ .

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Schritt 10.1.2.1

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 1 + 0$

Schritt 10.1.2.2

Addiere $- x + 1$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 1$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $- x + 1$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - x + 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x + 1 d x$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x + 1 d x$

Schritt 11.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int - x d x + \int d x$

Schritt 11.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int x d x + \int d x$

Schritt 11.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Schritt 11.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Schritt 11.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Schritt 11.8

Vereinfache.

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Schritt 12

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Schritt 13

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{2}}{2} + x + C$