Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (1 + 3 y)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + 3 y}$ .

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{6 (1 + 3 y)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 3 y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $1 + 3 y$ aus $6 (1 + 3 y)$ heraus.

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{(1 + 3 y) \cdot 6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{(1 + 3 y) \cdot 6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 + 3 y} d y = \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + 3 y} d y = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 1 + 3 y$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 + 3 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 + 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 3 y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 3 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$0 + 3$

Schritt 2.2.1.1.4

Addiere $0$ und $3$ .

$3$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + 3 y$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = 1 + 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = 1 + 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 2.3.2.1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{6}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{3}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.2.1

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ als $3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ um.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - 3 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{- 3}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - \frac{3}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - \frac{3}{1 + 2 x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3}{1 + 2 x} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |)) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| 1 + 3 y |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + 3 y |)}{3} = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\ln (| 1 + 3 y |)}{3} = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + \frac{C (1 + 2 x)}{1 + 2 x})$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C (1 + 2 x)}{1 + 2 x}$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C \cdot 1 + C (2 x)}{1 + 2 x}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C + C (2 x)}{1 + 2 x}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C + 2 C x}{1 + 2 x}$

Schritt 3.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{- 3 + C + 2 C x}{1 + 2 x}$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 3 + C + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3) + C + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $C$ heraus.

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3) - 1 (- C) + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- C)$ heraus.

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C) + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $2 C x$ heraus.

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C) - (- 2 C x))}{1 + 2 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3 - C) - (- 2 C x)$ heraus.

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C - 2 C x))}{1 + 2 x}$

Schritt 3.2.2.1.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 + 3 y |)} = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} = | 1 + 3 y |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 + 3 y | = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$ um.

$| 1 + 3 y | = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + 3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (C + C x)}{1 + 2 x}} - 1}{3}$