Analysis Beispiele

$x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x y - y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$0 = y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$0 = y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $y$ .

$\frac{0 - y}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x y - y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x y - y$ .

$\frac{0 - y}{x y - y}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $y$ von $0$ .

$\frac{- y}{x y - y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $x y - y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{- y}{y x - y}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{- y}{y x + y \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x - 1}$

Schritt 4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x - 1}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Schritt 5.2

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.2.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 5.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.2.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Schritt 5.5

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x - 1 |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- \ln (| x - 1 |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x - 1 |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x - 1 |}^{- 1} + C$

Schritt 5.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x - 1 |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x - 1}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$x^{2} \frac{1}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

Schritt 6.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x y - y$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) \frac{1}{x - 1} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x y - y$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{x y - y}{x - 1} d y = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $y$ aus $x y - y$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x - y}{x - 1} d y = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x + y \cdot - 1}{x - 1} d y = 0$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + y d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Schritt 11.3

Da $\frac{1}{2} y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Schritt 11.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Schritt 12

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{x^{2}}{x - 1}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 12.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Schritt 12.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Schritt 12.3

Dividiere $x^{2}$ durch $x - 1$ .

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Schritt 12.3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 12.3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Schritt 12.3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 12.3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - x$

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 12.3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Schritt 12.3.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Schritt 12.3.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Schritt 12.3.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

Schritt 12.3.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

Schritt 12.3.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

Schritt 12.3.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$g (x) = \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 12.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 12.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 12.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 12.7

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 12.7.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 12.7.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 12.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.7.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 12.7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 12.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \ln (| u |) + C$

Schritt 12.9

Vereinfache.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |) + C$

Schritt 12.10

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Schritt 13

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Schritt 14

Vereinfache $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$ .

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Schritt 14.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Schritt 14.2

Um $\ln (| x - 1 |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 14.3

Kombiniere $\ln (| x - 1 |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 14.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.5.1

Multipliziere $\ln (| x - 1 |) \cdot 2$ .

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Schritt 14.5.1.1

Stelle $\ln (| x - 1 |)$ und $2$ um.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Schritt 14.5.1.2

Vereinfache $2 \cdot \ln (| x - 1 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({| x - 1 |}^{2})}{2} + C$

Schritt 14.5.2

Entferne den Absolutwert in ${| x - 1 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({(x - 1)}^{2})}{2} + C$