Analysis Beispiele

$x (y + 2) d y = (\ln (x) + 1) d x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(y + 2) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\ln (x) + 1$ .

$(y + 2) d y = \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y + 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Schritt 3.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.3

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.3.3.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.3.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int u d u + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Schritt 3.3.7

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C_{6}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

Schritt 4.1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ mit $2$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 4.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| x |)$ .

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Schritt 4.2.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Schritt 4.3.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (x^{2}) + 2 C$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (x^{2}) = - y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C$

Schritt 4.5

Schreibe die Gleichung als $- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$ um.

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$

Schritt 4.6

Addiere $\ln (x^{2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 4.7

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.8

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 4$ und $c = \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9

Vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ heraus.

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Schritt 4.9.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ heraus.

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Schritt 4.9.1.2.1

Stelle $- 4$ und $- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.2.4

Schreibe $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ als $- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.9.1.3.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.4

Schreibe $4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ als $2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})$ um.

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Schritt 4.9.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$

Schritt 4.9.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$

Schritt 4.9.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

Schritt 4.9.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ als $- (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ um.

$y = - (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

Schritt 4.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

Schritt 5

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$