Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{4 + e^{x}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 4 + e^{x}$ . Dann ist $d u = e^{x} d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 4 + e^{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $4 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Schritt 2.3.1.1.4

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$e^{x}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 + e^{x}$ .

$y + C_{1} = \ln (| 4 + e^{x} |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \ln (| 4 + e^{x} |) + C$