Analysis Beispiele

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ durch $x^{2} - 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y)$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = (x + 1) (x - 1)$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = (x + 1) (x - 1)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.2.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.2.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Schritt 2.3.2.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.2.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.3.8.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Schritt 2.3.2.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Schritt 2.3.2.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.3.2.1.3.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.2.1.3.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

Schritt 3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| (x + 1) (x - 1) |$ .

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| (x + 1) (x - 1) |$ .

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Schritt 3.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 3.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Vereinfache $e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

Schritt 3.5.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

Schritt 3.5.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Schritt 3.5.3.2.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Schritt 3.5.3.2.1.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Schritt 3.5.3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

Schritt 3.5.3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x - 1 |$

Schritt 3.5.3.2.1.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + 0 - 1 |$

Schritt 3.5.3.2.1.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 |$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | x^{2} - 1 |$ um.

$| y | = | x^{2} - 1 | e^{C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x^{2} - 1 | e^{C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm | x^{2} - 1 | C$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | x^{2} - 1 |$