Analysis Beispiele

$\frac{y - 1}{- y - 1} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y - 1}{- y - 1} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y - 1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Dividiere $y - 1$ durch $- y - 1$ .

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Schritt 2.2.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$1$

$y$

$1$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- y$ .

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				+	$y$	+	$1$

Schritt 2.2.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + 1$

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$

Schritt 2.2.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$
						-	$2$

Schritt 2.2.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int - 1 - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d y + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- y + C_{1} + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + C_{1} - \int \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{- y - 1} d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.7

Sei $u = - y - 1$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.7.1

Es sei $u = - y - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.7.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.7.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- y + C_{1} - 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + C_{1} - 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- y + C_{1} + 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.11

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} + 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.12

Vereinfache.

$- y + 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.13

Ersetze alle $u$ durch $- y - 1$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{4}$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) = \arctan (x) + C$