Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \cos (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = - \cos (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \cos (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \cos (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \cos (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = - \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$y + C_{1} = - \int \cos (u) (1 \cdot 2) d u$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y + C_{1} = - \int \cos (u) \cdot 2 d u$

Schritt 2.3.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \int 2 \cos (u) d u$

Schritt 2.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (2 \int \cos (u) d u)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = - 2 (\sin (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$y + C_{1} = - 2 \sin (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \sin (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - 2 \sin (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - 2 \sin (\frac{1}{2} x) + K$