Analysis Beispiele

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Schritt 1

Schreibe das Problem als einen mathematischen Ausdruck.

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $(y^{2} + 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{y^{2} + 1}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 4.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ in den Zähler.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $y^{2} + 1$ aus $x^{2} (y^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Schritt 4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Schritt 4.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Integriere beide Seiten.

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Schritt 5.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividiere $y^{2}$ durch $y^{2} + 1$ .

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Schritt 5.2.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y^{2}$ .

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

Schritt 5.2.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y^{2} + 0 + 1$

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

Schritt 5.2.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Schritt 5.2.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.5.1

Stelle $y^{2}$ und $1$ um.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.2.5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.2.6

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{2}$ .

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.2.7

Vereinfache.

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.3.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 5.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

Schritt 5.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

Schritt 5.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.3.4.1

Schreibe $- (- x^{- 1} + C_{4})$ als $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ um.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Schritt 5.3.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

Schritt 5.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$