Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - 1}{e^{y}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{e^{x} - 1}{e^{y}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{e^{x} - 1}{e^{y}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{x} - 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$e^{y} d y = (e^{x} - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{y} d y = \int e^{x} - 1 d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int e^{x} - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{y} + C_{1} = \int e^{x} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{y} + C_{1} = e^{x} + C_{2} + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$e^{y} + C_{1} = e^{x} + C_{2} - x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$e^{y} + C_{1} = e^{x} - x + C_{4}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$e^{y} + C_{1} = - x + e^{x} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = - x + e^{x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (- x + e^{x} + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (- x + e^{x} + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- x + e^{x} + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (- x + e^{x} + K)$