Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7$ , $y (4) = - 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 7 d x$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 7 d x$

Schritt 2.3.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 7 d x$

Schritt 2.3.3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 7 d x$

Schritt 2.3.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 7 d x$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 7 x + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + 7 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $4$ für $x$ und $- 5$ für $y$ in $y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ ersetzt wird.

$- 5 = 7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K = - 5$ um.

$7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K = - 5$

Schritt 4.2

Vereinfache $7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$28 + 4^{\frac{1}{2}} + K = - 5$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$28 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = - 5$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$28 + 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = - 5$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$28 + 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = - 5$

Schritt 4.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$28 + 2^{1} + K = - 5$

Schritt 4.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$28 + 2 + K = - 5$

Schritt 4.2.2

Addiere $28$ und $2$ .

$30 + K = - 5$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 5 - 30$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $30$ von $- 5$ .

$K = - 35$

Schritt 5

Setze $- 35$ für $K$ in $y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 35$ .

$y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} - 35$