Analysis Beispiele

$3 (y^{4} + 1) d x + 4 x y^{3} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $3 (y^{4} + 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x y^{3} d y = - 3 (y^{4} + 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y^{4} + 1)} (4 x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y^{3}$ heraus.

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x (y^{3})) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{4}{y^{4} + 1}$ und $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Schritt 3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - 3 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4} + 1$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $y^{4} + 1$ aus $x (y^{4} + 1)$ heraus.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

Schritt 3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

Schritt 3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x} d x$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{4})}^{1}$ um.

$4 \int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Sei $u_{1} = y^{4}$ . Dann ist $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Es sei $u_{1} = y^{4}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Differenziere $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

Schritt 4.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 y^{3}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Vereinfache.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache.

$4 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1} + 1}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.4.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u_{1} + 1$ .

$4 \int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Vereinfache.

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Schritt 4.2.6.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.6.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.7

Sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.2.7.1

Es sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.2.7.1.1

Differenziere $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Schritt 4.2.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} + 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 4.2.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 4.2.7.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.2.7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.9

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 4.2.9.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} + 1$ .

$\ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.9.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y^{4}$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = - 3 \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y^{4} + 1 | {| x |}^{3}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ um.

$| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ durch ${| x |}^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ durch ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x |}^{3}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $| y^{4} + 1 |$ durch $1$ .

$| y^{4} + 1 | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.5.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{4} + 1 = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.5.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{4} = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Schritt 5.5.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{C}{{| x |}^{3}} - 1}$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt[4]{C \frac{1}{{| x |}^{3}} - 1}$