Analysis Beispiele

$y d x + 3 x d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x d y = - y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x y}$ in den Zähler.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$3 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$3 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache $3 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $3 \ln (| y |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln ({| y |}^{3} | x |)} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| y |}^{3} | x |$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ um.

${| y |}^{3} | x | = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ durch $| x |$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ durch $| x |$ .

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere ${| y |}^{3}$ durch $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ als $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$

Schritt 5.5.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{\sqrt[3]{| x |} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{| x |}$ mit $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.5.4.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{3}}$

Schritt 5.5.4.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{| x |}}^{3}$ als $| x |$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{| x |}$ als ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.5.4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.5.4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.5.4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.5.4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{1}}$

Schritt 5.5.4.3.5.5

Vereinfache.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{| x |}$

Schritt 5.5.4.4

Schreibe ${\sqrt[3]{| x |}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{| x |}^{2}}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{| x |}^{2}}}{| x |}$

Schritt 5.5.4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$

Schritt 5.5.4.6

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Schritt 5.5.5

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Schritt 5.5.6

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{| x |}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{| x |}$