Analysis Beispiele

$(2 x y + y^{2}) d x + (x^{2} + 2 x y - y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y + y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{2}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} + 2 x y - y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y - y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x y - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2 x + 2 y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x + 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x + 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y + y^{2} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 2 x y + y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int y^{2} d x$

Schritt 5.2

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int y^{2} d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{2} d x$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{2} x + C$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{2} x + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + y^{2} x + g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y x^{2} + y^{2} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x^{2}$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Schritt 8.4.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 8.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 2 x y = x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} + 2 x y - y - x^{2}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} + 2 x y - y - x^{2} - 2 x y$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 2 x y - y - x^{2} - 2 x y$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - y + 0 - 2 x y$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $2 x y - y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - y - 2 x y$

Schritt 9.1.3.3

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $- y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Schritt 10.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int y d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 10.5

Schreibe $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

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Schritt 12.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2

Subtrahiere $\frac{y^{2}}{2}$ von $y^{2} x$ .

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Schritt 12.2.1

Stelle $y^{2}$ und $x$ um.

$f (x, y) = y x^{2} + x y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2.2

Um $x y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $x y^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2 - y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2} \cdot 2 - y^{2}$ heraus.

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Schritt 12.3.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2} \cdot 2$ heraus.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) - y^{2}}{2} + C$

Schritt 12.3.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{2}$ heraus.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 1}{2} + C$

Schritt 12.3.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 1$ heraus.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

Schritt 12.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Schritt 12.4

Um $y x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Schritt 12.5

Kombiniere $y x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Schritt 12.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 + y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Schritt 12.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.7.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} \cdot 2 + y^{2} (2 x - 1)$ heraus.

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Schritt 12.7.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} \cdot 2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2) + y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Schritt 12.7.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} (2 x - 1)$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2) + y (y (2 x - 1))}{2} + C$

Schritt 12.7.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{2} \cdot 2) + y (y (2 x - 1))$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2 + y (2 x - 1))}{2} + C$

Schritt 12.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 \cdot x^{2} + y (2 x - 1))}{2} + C$

Schritt 12.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + y (2 x) + y \cdot - 1)}{2} + C$

Schritt 12.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x + y \cdot - 1)}{2} + C$

Schritt 12.7.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x - 1 \cdot y)}{2} + C$

Schritt 12.7.6

Vereinfache jeden Term.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x - y)}{2} + C$