Analysis Beispiele

$9 = \frac{9 d x (x - 2 x y)}{d y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Vertausche die Seiten um $\frac{d x}{d y}$ auf die linke Seite zu haben.

$9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$ durch $9 (x - 2 x y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$ durch $9 (x - 2 x y)$ .

$\frac{9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{9 (x - 2 x y)} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{9 (x - 2 x y)} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Schritt 1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{x - 2 x y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2 x y$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{x - 2 x y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $\frac{d x}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{d y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Schritt 1.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x - 2 x y}$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x - 2 x y$ heraus.

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Schritt 1.2.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{1} - 2 x y}$

Schritt 1.2.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x \cdot 1 - 2 x y}$

Schritt 1.2.3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x \cdot 1 + x (- 2 y)}$

Schritt 1.2.3.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- 2 y)$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - 2 y}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$x \frac{d x}{d y} = x (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - 2 y})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{1 - 2 y}$ .

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Schritt 1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{1 - 2 y}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$x d x = \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int x d x = \int \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 1 - 2 y$ . Dann ist $d u = - 2 d y$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 1 - 2 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $1 - 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 2 y]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 - 2$

Schritt 2.3.1.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 y$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} x^{2} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\ln (| 1 - 2 y |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} = 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = - \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$x^{2} = - \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + C}$