Analysis Beispiele

$x e^{y} d y + (\frac{x^{2} + 1}{y}) d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x^{2} + 1}{y} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x e^{y}$ heraus.

$\frac{y}{x} (x (e^{y})) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y e^{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y e^{y} d y = - \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{x}$ in den Zähler.

$y e^{y} d y = \frac{- y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y e^{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y e^{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Schritt 3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y e^{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Schritt 3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Stelle die Terme um.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$e^{y} y - e^{y} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$