Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y^{- 2} \ln (x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y^{- 2}$ aus $y^{- 2} \ln (x)$ heraus.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} (\ln (x)))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = \ln (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int \ln (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $y^{- 2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int \ln (x) d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \ln (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - (x + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - x + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x \ln (x) - x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = x \ln (x) - x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (x \ln (x) - x + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (x \ln (x)) + 3 (- x) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y^{3} = 3 x \ln (x) - 3 x + 3 K$

Schritt 3.3

Vereinfache $3 \ln (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{3} = x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + K}$