Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$

Schritt 1

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $y = e^{r x}$ .

Schritt 2

Ermittle die charakteristische Gleichung für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Schritt 2.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$r^{2} e^{r x} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Schritt 2.4

Faktorisiere $e^{r x}$ aus.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $r^{2} e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $r e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} r - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} r^{2} + e^{r x} r$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} + r) - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Schritt 2.4.4

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $- 12 e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12 = 5 x + 8$

Schritt 2.4.5

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} + r - 12) = 5 x + 8$

Schritt 2.5

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r x}$ .

$r^{2} + r - 12 = 5 x + 8$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} + r - 12 - 5 x = 8$

Schritt 3.1.1.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} + r - 12 - 5 x - 8 = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $8$ von $- 12$ .

$r^{2} + r - 5 x - 20 = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - 5 x - 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x - 20))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.6

Addiere $1$ und $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.6

Addiere $1$ und $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Schritt 3.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$r = \frac{- 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Schritt 3.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Schritt 3.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{20 x + 81}$ heraus.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Schritt 3.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{20 x + 81})$ heraus.

$r = \frac{- 1 (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Schritt 3.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6

Addiere $1$ und $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Schritt 3.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$r = \frac{- 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Schritt 3.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - \sqrt{20 x + 81}$ heraus.

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Schritt 3.6.4.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Schritt 3.6.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{20 x + 81}$ heraus.

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{20 x + 81})}{2}$

Schritt 3.6.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\sqrt{20 x + 81})$ heraus.

$r = \frac{- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Schritt 3.6.4.4

Schreibe $- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})$ als $- (1 + \sqrt{20 x + 81})$ um.

$r = \frac{- (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Schritt 3.6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Schritt 4

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$y_{1} = e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

$y_{2} = e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Schritt 5

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$y = c_{1} e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{x (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}}$