Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.7

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $3$ für $y$ in $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ ersetzt wird.

$3 = - 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ um.

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Schritt 4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (1) + C = 3$

Schritt 4.2.1.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \cdot 0 + C = 3$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 0 + C = 3$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 1 - \frac{7}{2}$ und $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + C = 3$

Schritt 4.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2} + C = 3$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 - 7}{2} + C = 3$

Schritt 4.2.6.2

Subtrahiere $7$ von $- 2$ .

$\frac{- 9}{2} + C = 3$

Schritt 4.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{2} + C = 3$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $\frac{9}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 3 + \frac{9}{2}$

Schritt 4.3.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$C = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{3 \cdot 2 + 9}{2}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$C = \frac{6 + 9}{2}$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $6$ und $9$ .

$C = \frac{15}{2}$

Schritt 5

Setze $\frac{15}{2}$ für $C$ in $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $\frac{15}{2}$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + \frac{15}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache $5 \ln (| x |)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + \ln ({| x |}^{5}) + \frac{15}{2}$