Analysis Beispiele

$t \frac{d y}{d t} - 5 t = - y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t \frac{d y}{d t} - 5 t + y = 0$

Schritt 1.2

Addiere $5 t$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t \frac{d y}{d t} + y = 5 t$

Schritt 2

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $t y$ ist.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = y$ .

$t \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d t} [y]$ als $y'$ um.

$t y' + y \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t y' + y \cdot 1$

Schritt 2.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

Schritt 2.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$t \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$t \frac{d y}{d t} + y$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [t y] = 5 t$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 5 t d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$t y = \int 5 t d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$t y = 5 \int t d t$

Schritt 6.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t y = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Schritt 6.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ als $5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ um.

$t y = 5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ durch $t$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ durch $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{2}$ und $t$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $t$ aus $\frac{5}{2} t^{2}$ heraus.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{5}{2} t}{1} + \frac{C}{t}$

Schritt 7.3.1.1.2.5

Dividiere $\frac{5}{2} t$ durch $1$ .

$y = \frac{5}{2} t + \frac{C}{t}$

Schritt 7.3.1.2

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $t$ .

$y = \frac{5 t}{2} + \frac{C}{t}$