Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \tan (x) + \sec (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\tan (x) + \sec (x)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \tan (x) + \sec (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \tan (x) + \sec (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \tan (x) d x + \int \sec (x) d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2} + \int \sec (x) d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2} + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{4}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) | | \sec (x) + \tan (x) |) + C_{4}$

Schritt 2.3.4.2.2

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \ln (| \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) |) + C$