Analysis Beispiele

$\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} y + x^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} y + x^{2}$ durch $\sqrt{1 + x^{3}}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} y + x^{2}$ durch $\sqrt{1 + x^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{3}}} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1 + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 + x^{3}}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{3}}} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1 + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1 + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1^{3} + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1.1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.1.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.3.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1 + 1}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ um.

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Schritt 1.1.3.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ als ${((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{({((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{1}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1^{3} + x^{3}}}$

Schritt 1.1.3.1.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}}$

Schritt 1.1.3.1.4.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1.4.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}}$

Schritt 1.1.3.1.4.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Schritt 1.1.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Schritt 1.1.3.1.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Schritt 1.1.3.1.6.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Schritt 1.1.3.1.6.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1}}$

Schritt 1.1.3.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.1.3.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.6.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ um.

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Schritt 1.1.3.1.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ als ${((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{({((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.1.3.1.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.3.1.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.1.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.3.1.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{1}}$

Schritt 1.1.3.1.6.6.5

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 1.1.3.2.2

Faktorisiere $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ aus $x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ aus $x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y) + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Faktorisiere $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ aus $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y) + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (1)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 1.1.3.2.2.3

Faktorisiere $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ aus $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y) + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $y + 1$ aus $\frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1)$ heraus.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})})$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})})$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Dann ist $d u_{2} = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.1.1.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.1.1.3.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.12

Mutltipliziere $1 - x + x^{2}$ mit $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.1.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.9

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.10

Addiere $- 1$ und $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.11

Addiere $x + 2 x^{2}$ und $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.12

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.13

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.14

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{3 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Multipliziere $u_{2}$ mit ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Mutltipliziere $u_{2}$ mit ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.4.2.2.1.1

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.4.3.1

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.4.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.4.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.4.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Schreibe $\frac{1}{3} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{3} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 1 |) = \frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y + 1 |) = \frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 1 |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$ um.

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $e^{\frac{2}{3} \cdot {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.2.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.2.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.2.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.2.7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Addiere $1 + x^{2}$ und $0$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + x^{2} - x^{2} + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + 0 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2.1.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C}$

Schritt 3.3.2.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.2.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{3}{3}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.3.2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $C$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}}$

Schritt 3.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}} - 1$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}$ in zwei Brüche.

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{3 C}{3}} - 1$

Schritt 3.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{3 C}{3}} - 1$

Schritt 3.3.4.2.2.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C} - 1$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C}$ als $e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} e^{C} - 1$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} - 1$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} - 1$