Analysis Beispiele

$2 \frac{d y}{d x} + y = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \frac{d y}{d x} = - y$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} = - y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} = - y$ durch $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{2})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \frac{1}{2} x + C}$ um.

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x}{2} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x}{2} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{x}{2} + C}$ als $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{x}{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{x}{2}}$