Analysis Beispiele

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$ durch $x^{2} + y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.6

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.8

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.9

Wende die Quotientenregel an $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.2

Um $- V$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V \cdot \frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.1.2.3.3.1

Kombiniere $- V$ und $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} + \frac{- V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.2.3.4.1

Faktorisiere $V$ aus $V - V (1 + V^{2})$ heraus.

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Schritt 6.1.1.2.3.4.1.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.1.2

Faktorisiere $V$ aus $V^{1}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.1.3

Faktorisiere $V$ aus $- V (1 + V^{2})$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.1.4

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.5

Subtrahiere $V^{2}$ von $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.1.1.2.3.4.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.6.2

Multipliziere $V$ mit $V^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.2.3.4.6.2.1

Mutltipliziere $V$ mit $V^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.2.3.4.6.2.1.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.6.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.6.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{x (1 + V^{2})}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + V^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ in den Zähler.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V^{2})}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.3.2

Faktorisiere $1 + V^{2}$ aus $- (1 + V^{2})$ heraus.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.3.3

Faktorisiere $1 + V^{2}$ aus $(1 + V^{2}) x$ heraus.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) (x)}$

Schritt 6.1.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Schritt 6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{3}$ .

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Schritt 6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Schritt 6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.2.1.1

Bringe $V^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{3 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Multipliziere $(1 + V^{2}) V^{- 3}$ .

$\int 1 V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.3.1

Mutltipliziere $V^{- 3}$ mit $1$ .

$\int V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Multipliziere $V^{2}$ mit $V^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 3} + V^{2 - 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\int V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int V^{- 3} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V^{- 3}$ nach $V$ gleich $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Das Integral von $V^{- 1}$ nach $V$ ist $\ln (| V |)$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.7.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{V^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Schritt 8.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Schritt 8.3.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{y}{x}$ und $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Schritt 8.4.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Schritt 8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{x}$ an.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

Schritt 8.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

Schritt 8.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

Schritt 8.5.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$