Analysis Beispiele

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (x)}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{2}{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{2}{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x y = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x y = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$x y = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$x y = 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x y = 2 \ln (| x |) + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 2 \ln (| x |) + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \frac{\ln ({| x |}^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = \frac{\ln (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$