Analysis Beispiele

$3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$ durch $3 x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$ durch $3 x$ .

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{3 x}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{x \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{x \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{2}}{3}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{5}{3 x} d x + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{5}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{5}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{x^{2}}{3} d x$

Schritt 2.3.5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{9} x^{3} + C$