Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = y + x e^{\frac{y}{x}}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y + x e^{\frac{y}{x}}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y + x e^{\frac{y}{x}}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x e^{\frac{y}{x}}}{x}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x e^{\frac{y}{x}}}{x}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x e^{\frac{y}{x}}}{x}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x e^{\frac{y}{x}}}{x}$

Schritt 1.3.1.2

Dividiere $e^{\frac{y}{x}}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + e^{V}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + e^{V}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + e^{V} - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + e^{V} - V$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + e^{V}$

Schritt 6.1.1.1.2.2

Addiere $0$ und $e^{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{e^{V}}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{V}}$ .

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{V}} \cdot \frac{e^{V}}{x}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Kombinieren.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{V}$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Schritt 6.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{V}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{V})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{V})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{V \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $V$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.1.3

Schreibe $- 1 V$ als $- V$ um.

$\int 1 e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{- V}$ mit $1$ .

$\int e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Sei $u = - V$ . Dann ist $d u = - d V$ , folglich $- d u = d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Es sei $u = - V$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Differenziere $- V$ .

$\frac{d}{d V} [- V]$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $- V$ nach $V$ gleich $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$- \frac{d}{d V} [V]$

Schritt 6.2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6.2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Vereinfache.

$- e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $- V$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{- V}}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{- V}}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.2.2

Dividiere $e^{- V}$ durch $1$ .

$e^{- V} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$e^{- V} = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ als $- \ln (| x |)$ um.

$e^{- V} = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$e^{- V} = - \ln (| x |) - C$

Schritt 6.3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- V}) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Schritt 6.3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.3.3.1

Zerlege $\ln (e^{- V})$ durch Herausziehen von $- V$ aus dem Logarithmus.

$- V \ln (e) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Schritt 6.3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- V \cdot 1 = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Schritt 6.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Schritt 6.3.4

Teile jeden Ausdruck in $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ durch $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{V}{1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Schritt 6.3.4.2.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Schritt 6.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$

Schritt 6.3.4.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$ als $- \ln (- \ln (| x |) - C)$ um.

$V = - \ln (- \ln (| x |) - C)$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Stelle die Faktoren in $- \ln (- \ln (| x |) + C) x$ um.

$y = - x \ln (- \ln (| x |) + C)$