Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} + y - 1$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - y = e^{2 x} - 1$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x + 2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.2

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} - e^{- x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} - e^{- x}$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{x} - e^{- x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{x} - e^{- x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{x} - e^{- x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} y = \int e^{x} - e^{- x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{- x} y = \int e^{x} d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{- x} y = e^{x} + C + \int - e^{- x} d x$

Schritt 7.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = e^{x} + C - \int e^{- x} d x$

Schritt 7.4

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- x} y = e^{x} + C - \int - e^{u} d u$

Schritt 7.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = e^{x} + C - - \int e^{u} d u$

Schritt 7.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = e^{x} + C + 1 \int e^{u} d u$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$e^{- x} y = e^{x} + C + \int e^{u} d u$

Schritt 7.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- x} y = e^{x} + C + e^{u} + C$

Schritt 7.8

Vereinfache.

$e^{- x} y = e^{x} + e^{u} + C$

Schritt 7.9

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} y = e^{x} + e^{- x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = e^{x} + e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = e^{x} + e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{e^{x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{e^{x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{- x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{x}$ heraus.

$y = \frac{e^{- x} e^{2 x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{- x} e^{2 x}}{e^{- x} \cdot 1} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{- x} e^{2 x}}{e^{- x} \cdot 1} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{e^{2 x}}{1} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $e^{2 x}$ durch $1$ .

$y = e^{2 x} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = e^{2 x} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = e^{2 x} + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$