Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{- 3} d x$

Schritt 1.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{1})$

Schritt 1.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{1})$

Schritt 1.5.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1})$

Schritt 1.5.2

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Schritt 1.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- \frac{1}{x}) + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x} + C_{5}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = C x - \frac{1}{2 x} + D$