Analysis Beispiele

$5 y \frac{d y}{d x} = 9 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$5 y d y = 9 x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 5 y d y = \int 9 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int y d y = \int 9 x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 9 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $5 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $5 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$5 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 9 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ um.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 3 x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{5}{2} y^{2} = 3 x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} y^{2}) = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{5} (\frac{5}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y^{2}}{2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kombinieren.

$\frac{2 (5 y^{2})}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 y^{2})}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.4.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = \frac{2}{5} (3 x^{3}) + \frac{2}{5} K$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $\frac{2}{5} (3 x^{3})$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{5}$ .

$y^{2} = \frac{3 \cdot 2}{5} x^{3} + \frac{2}{5} K$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y^{2} = \frac{6}{5} x^{3} + \frac{2}{5} K$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Kombiniere $\frac{6}{5}$ und $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2}{5} K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $K$ .

$y^{2} = \frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2 K}{5}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2 K}{5}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2 K}{5}}$ .

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Schritt 3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{6 x^{3} + 2 K}{5}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{3} + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 x^{3}) + 2 K}{5}}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 x^{3}) + 2 K}{5}}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{3}) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 x^{3} + K)}{5}}$

Schritt 3.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{2 (3 x^{3} + K)}{5}}$ als $\frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 3.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 3.4.5.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 3.4.5.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 3.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 3.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K) \cdot 5}}{5}$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$