Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 - 2 y}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 y$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) - 2 y}$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- y)$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1 - y)}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 1 - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 1 - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $1 - y$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\arctan (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$x = \tan (- \frac{1}{2} \cdot \ln (| 1 - y |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Stelle $\ln (| 1 - y |)$ und $\frac{1}{2}$ um.

$x = \tan (- (\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)) + C)$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$x = \tan (- \ln ({| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}) + C)$