Analysis Beispiele

$2 x (y + 1) d x - (x^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x (y + 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- (x^{2} + 1) d y = - 2 x (y + 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- (x^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $y + 1$ aus $(x^{2} + 1) (y + 1)$ heraus.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} (x (y + 1)) d x$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $y + 1$ aus $x (y + 1)$ heraus.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Schritt 3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{x^{2} + 1} x d x$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{- 2}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2.2

Sei $u_{1} = y + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Es sei $u_{1} = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 4.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 4.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 4.2.2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.2.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2.4

Vereinfache.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.3.4

Sei $u_{2} = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Es sei $u_{2} = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 4.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 4.3.4.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\ln (| x^{2} + 1 |)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Dividiere $\ln (| y + 1 |)$ durch $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Schritt 5.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{1}$

Schritt 5.3.3.1.4

Dividiere $\ln (| x^{2} + 1 |)$ durch $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x^{2} + 1 |)$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x^{2} + 1 |) = - C$

Schritt 5.5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = - C$

Schritt 5.6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |})} = e^{- C}$

Schritt 5.7

Schreibe $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}$

Schritt 5.8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{- C}$ um.

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{- C}$

Schritt 5.8.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x^{2} + 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x^{2} + 1 |$ .

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Schritt 5.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Schritt 5.8.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Schritt 5.8.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.8.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{- C} | x^{2} + 1 |$ um.

$| y + 1 | = | x^{2} + 1 | e^{- C}$

Schritt 5.8.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x^{2} + 1 | e^{- C}$

Schritt 5.8.4.3

Stelle die Faktoren in $\pm | x^{2} + 1 | e^{- C}$ um.

$y + 1 = \pm e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Schritt 5.8.4.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{- C} | x^{2} + 1 | - 1$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm C | x^{2} + 1 | - 1$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | x^{2} + 1 | - 1$