Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{(x^{3} - 21 x) x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} x^{3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3 + 3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Schritt 2.3.4

Addiere $3$ und $3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Schritt 2.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 (x^{1} x^{3})}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{1 + 3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Schritt 2.3.7

Addiere $1$ und $3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Schritt 2.3.8

Stelle $5$ und $4 x$ um.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

Schritt 2.3.9

Bewege $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x - x^{2} + 5} d x$

Schritt 2.3.10

Stelle $4 x$ und $- x^{2}$ um.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.11

Dividiere $x^{6} - 21 x^{4}$ durch $- x^{2} + 4 x + 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.11.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 2.3.11.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{6}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 2.3.11.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

Schritt 2.3.11.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{6} - 4 x^{5} - 5 x^{4}$

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

Schritt 2.3.11.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

Schritt 2.3.11.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

Schritt 2.3.11.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

Schritt 2.3.11.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Schritt 2.3.11.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{5} - 16 x^{4} - 20 x^{3}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Schritt 2.3.11.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Schritt 2.3.11.11

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.3.11.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $20 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.3.11.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

Schritt 2.3.11.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $20 x^{3} - 80 x^{2} - 100 x$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

Schritt 2.3.11.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

Schritt 2.3.11.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

Schritt 2.3.11.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $80 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

Schritt 2.3.11.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

Schritt 2.3.11.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $80 x^{2} - 320 x - 400$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

Schritt 2.3.11.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

$420 x$

$400$

Schritt 2.3.11.21

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$y + C_{1} = \int - x^{4} - 4 x^{3} - 20 x - 80 + \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int - x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.15

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.16

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.17

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 20$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 \int x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.18

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.19

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.20

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.20.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.20.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Schritt 2.3.21

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.1

Faktorisiere den Bruch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.1.1

Faktorisiere $20$ aus $420 x + 400$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.1.1.1

Faktorisiere $20$ aus $420 x$ heraus.

$\frac{20 (21 x) + 400}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Schritt 2.3.21.1.1.1.2

Faktorisiere $20$ aus $400$ heraus.

$\frac{20 (21 x) + 20 (20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Schritt 2.3.21.1.1.1.3

Faktorisiere $20$ aus $20 (21 x) + 20 (20)$ heraus.

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Schritt 2.3.21.1.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

Schritt 2.3.21.1.1.2.1.2

Schreibe $4$ um als $- 1$ plus $5$

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

Schritt 2.3.21.1.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

Schritt 2.3.21.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

Schritt 2.3.21.1.1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{20 (21 x + 20)}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

Schritt 2.3.21.1.1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x - 1) (x - 5)}$

Schritt 2.3.21.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{- x - 1}$

Schritt 2.3.21.1.3

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(- x - 1) (x - 5)$ .

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.6.2

Dividiere $20 (21 x + 20)$ durch $1$ .

$20 (21 x + 20) = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$20 (21 x) + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.8

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.8.1

Mutltipliziere $21$ mit $20$ .

$420 x + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.8.2

Mutltipliziere $20$ mit $20$ .

$420 x + 400 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$420 x + 400 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.9.1.2

Dividiere $(A) (x - 5)$ durch $1$ .

$420 x + 400 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$420 x + 400 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.9.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $A$ .

$420 x + 400 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$420 x + 400 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.1.9.4.2

Dividiere $(B) (- x - 1)$ durch $1$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

Schritt 2.3.21.1.9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$420 x + 400 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

Schritt 2.3.21.1.9.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

Schritt 2.3.21.1.9.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

Schritt 2.3.21.1.9.8

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - B$

Schritt 2.3.21.1.10

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.1.10.1

Bewege $B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - x B - B$

Schritt 2.3.21.1.10.2

Bewege $- 5 A$ .

$420 x + 400 = A x - x B - 5 A - B$

Schritt 2.3.21.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$420 = A - 1 B$

Schritt 2.3.21.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$400 = - 5 A - 1 B$

Schritt 2.3.21.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

Schritt 2.3.21.3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.1

Löse in $420 = A - 1 B$ nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A - 1 B = 420$ um.

$A - 1 B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

Schritt 2.3.21.3.1.2

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$A - B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

Schritt 2.3.21.3.1.3

Addiere $B$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

Schritt 2.3.21.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $420 + B$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $400 = - 5 A - 1 B$ durch $420 + B$ .

$400 = - 5 (420 + B) - 1 B$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.2.2.1

Vereinfache $- 5 (420 + B) - 1 B$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$400 = - 5 \cdot 420 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $420$ .

$400 = - 2100 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.2.2.1.1.3

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.2.2.1.2

Subtrahiere $B$ von $- 5 B$ .

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.3

Löse in $400 = - 2100 - 6 B$ nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2100 - 6 B = 400$ um.

$- 2100 - 6 B = 400$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.3.2.1

Addiere $2100$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 B = 400 + 2100$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.3.2.2

Addiere $400$ und $2100$ .

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 6 B = 2500$ durch $- 6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 B = 2500$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2500$ und $- 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.3.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2500$ heraus.

$B = \frac{2 (1250)}{- 6}$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.3.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

Schritt 2.3.21.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- \frac{1250}{3}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = 420 + B$ durch $- \frac{1250}{3}$ .

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Schritt 2.3.21.3.4.2

Vereinfache $A = 420 - \frac{1250}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.4.2.1.1

Entferne die Klammern.

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Schritt 2.3.21.3.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.4.2.2.1

Vereinfache $420 - \frac{1250}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.4.2.2.1.1

Um $420$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A = 420 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Schritt 2.3.21.3.4.2.2.1.2

Kombiniere $420$ und $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{420 \cdot 3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Schritt 2.3.21.3.4.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{420 \cdot 3 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Schritt 2.3.21.3.4.2.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.3.4.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $420$ mit $3$ .

$A = \frac{1260 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Schritt 2.3.21.3.4.2.2.1.4.2

Subtrahiere $1250$ von $1260$ .

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Schritt 2.3.21.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{10}{3}, B = - \frac{1250}{3}$

Schritt 2.3.21.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{10}{3}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.5.2

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $\frac{1}{- x - 1}$ .

$\frac{10}{3 (- x - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{10}{3 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{10}{3 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{10}{3 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.5.6

Stelle die Minuszeichen um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.21.5.6.1

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$\frac{10}{3 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.5.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{3 (x + 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.5.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3} \cdot \frac{1}{x - 5}$

Schritt 2.3.21.5.8

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 5}$ mit $\frac{1250}{3}$ .

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{(x - 5) \cdot 3}$

Schritt 2.3.21.5.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x - 5$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Schritt 2.3.22

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Schritt 2.3.23

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Schritt 2.3.24

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \int \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Schritt 2.3.25

Da $\frac{10}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{10}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - (\frac{10}{3} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Schritt 2.3.26

Sei $u_{1} = x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.26.1

Es sei $u_{1} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.26.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.26.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.26.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.26.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.26.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.26.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Schritt 2.3.27

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Schritt 2.3.28

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \int \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Schritt 2.3.29

Da $\frac{1250}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1250}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - (\frac{1250}{3} \int \frac{1}{x - 5} d x)$

Schritt 2.3.30

Sei $u_{2} = x - 5$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.30.1

Es sei $u_{2} = x - 5$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.30.1.1

Differenziere $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 2.3.30.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.3.30.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.3.30.1.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.30.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.30.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.31

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{7})$

Schritt 2.3.32

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| u_{1} |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Schritt 2.3.33

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.33.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Schritt 2.3.33.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 5$ .

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

Schritt 2.3.34

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

Schritt 2.3.35

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C_{8}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C$