Analysis Beispiele

$\frac{d A}{d r} = A b^{2} \cos (b r)$ , $A (0) = b^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d A}{d r} + M (r) A = Q (r)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (r) \frac{d A}{d r} + P (r) A = Q (r)$ um.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $A b^{2} \cos (b r)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d A}{d r} - A b^{2} \cos (b r) = 0$

Schritt 1.1.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d A}{d r} - b^{2} A \cos (b r) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $A$ aus $- b^{2} A \cos (b r)$ heraus.

$\frac{d A}{d r} + A (- b^{2} \cos (b r)) = 0$

Schritt 1.3

Stelle $A$ und $- b^{2} \cos (b r)$ um.

$\frac{d A}{d r} - b^{2} \cos (b r) A = 0$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (r) d r}$ , wobei $P (r) = - b^{2} \cos (b r)$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - b^{2} \cos (b r) d r}$

Schritt 2.2

Integriere $- b^{2} \cos (b r)$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- b^{2}$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $- b^{2}$ aus dem Integral.

$e^{- b^{2} \int \cos (b r) d r}$

Schritt 2.2.2

Sei $u = b r$ . Dann ist $d u = b d r$ , folglich $\frac{1}{b} d u = d r$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = b r$ . Ermittle $\frac{d u}{d r}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Forme um.

$1 b$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$b$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- b^{2} \int \cos (u) \frac{1}{b} d u}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{b}$ .

$e^{- b^{2} \int \frac{\cos (u)}{b} d u}$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{b}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{b}$ aus dem Integral.

$e^{- b^{2} (\frac{1}{b} \int \cos (u) d u)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{b}$ und $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b^{2}}{b} \int \cos (u) d u}$

Schritt 2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $b^{2}$ und $b$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $b$ aus $b^{2}$ heraus.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b} \int \cos (u) d u}$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Potenziere $b$ mit $1$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b^{1}} \int \cos (u) d u}$

Schritt 2.2.5.2.2.2

Faktorisiere $b$ aus $b^{1}$ heraus.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Schritt 2.2.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Schritt 2.2.5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{- \frac{b}{1} \int \cos (u) d u}$

Schritt 2.2.5.2.2.5

Dividiere $b$ durch $1$ .

$e^{- b \int \cos (u) d u}$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$e^{- b (\sin (u) + C)}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$e^{- b \sin (u) + C}$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u$ durch $b r$ .

$e^{- b \sin (b r) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- b \sin (b r)}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- b \sin (b r)}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- b \sin (b r)}$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} + e^{- b \sin (b r)} (- b^{2} \cos (b r) A) = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $e^{- b \sin (b r)}$ mit $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$ um.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - b^{2} A e^{- b \sin (b r)} \cos (b r) = 0$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] = 0$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] d r = \int 0 d r$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- b \sin (b r)} A = \int 0 d r$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Das Integral von $0$ nach $r$ ist $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = 0 + C$

Schritt 7.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- b \sin (b r)} A = C$ durch $e^{- b \sin (b r)}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- b \sin (b r)} A = C$ durch $e^{- b \sin (b r)}$ .

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- b \sin (b r)}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $r$ und $b^{3}$ für $A$ in $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ ersetzt wird.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}}$

Schritt 10

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 10.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1.1

Vereinfache $b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

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Schritt 10.2.1.1.1

Mutltipliziere $b$ mit $0$ .

$b^{3} e^{- b \sin (0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Schritt 10.2.1.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$b^{3} e^{- b \cdot 0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Schritt 10.2.1.1.3

Multipliziere $- b \cdot 0$ .

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Schritt 10.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$b^{3} e^{0 b} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Schritt 10.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $b$ .

$b^{3} e^{0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Schritt 10.2.1.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$b^{3} \cdot 1 = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Schritt 10.2.1.1.5

Mutltipliziere $b^{3}$ mit $1$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Schritt 10.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$b^{3} = C$

Schritt 10.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$b = \sqrt[3]{C}$

Schritt 11

Setze $\sqrt[3]{C}$ für $C$ in $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $b$ durch $\sqrt[3]{C}$ .

$A = \frac{C}{e^{- \sqrt[3]{C} \sin (\sqrt[3]{C} r)}}$