Analysis Beispiele

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ durch $e^{- y}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ durch $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Schritt 1.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- y}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Dividiere $1 + \frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$1 + \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} - 1$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{1}{e^{- y}} - 1$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1 \cdot \frac{e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int 1 \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}}$ mit $1$ .

$\int \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Dann ist $d u_{2} = e^{- y} d y$ , folglich $\frac{1}{e^{- y}} d u_{2} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $1 - e^{- y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - e^{- y}]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{- y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Schritt 2.2.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- y}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - y$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- y$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 2.2.2.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 2.2.2.1.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- y$ .

$0 - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 2.2.2.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - (e^{- y} \cdot - 1)$

Schritt 2.2.2.1.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- y}$ .

$0 - (- 1 \cdot e^{- y})$

Schritt 2.2.2.1.3.7

Schreibe $- 1 e^{- y}$ als $- e^{- y}$ um.

$0 - - e^{- y}$

Schritt 2.2.2.1.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 e^{- y}$

Schritt 2.2.2.1.3.9

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$0 + e^{- y}$

Schritt 2.2.2.1.4

Addiere $0$ und $e^{- y}$ .

$e^{- y}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.4

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - e^{- y}$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| 1 - e^{- y} |) = x + C$